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To 基地班和基础数学系的同学,

下面网页是这次期末考试试题，欢迎大家浏览下载:

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这次考试，因为有部分试题是我们课后作业和书上的定理，平时认真做作业、听课的同学还都是考的很好的。但是满分的并不多，主要是有些同学审题读题不够仔细、做题思路不够清晰、考虑问题不够全面而至。鉴于大家做的不错，我批卷基本上是比较严格一点的。按扣分算的。下面就每个题的详细得分点扣分点，给大家解释一下：

1，满分10分，正确答案 a=144,b=24或a=72,b=48。这是一个基本的计算题，大家基本都能得满分的。但是有些同学，看题不够认真，得到了4个答案，这要扣2分（这有点冤，但是既然题目里面要求了，就应该考虑的）；有的只得到一个正确答案，这要扣3分。

2，满分25分。（1）满分5分。这一个要利用数论函数可乘性的一个性质：对因子求和和对素因子求乘积之间的一个等式（课本p24，（30）式），就出来了！用其他方法，我没有发现做对的。（2）满分10分。这个题有很多同学，把（1）结果带入，然后直接把里面展开，说里面求和项是有限项云云，故是O（1），从而整个求和项是O（x），这样做根本上是错的！里面求和项个数是和n有关的，n在变，不能直接认为是有限项！我说过很多次，对大家来说只有两种初等方法求数论函数的均值估计：求和号交换次序和利用Abel定理分部求和！带入（1），然后交换次序，把取整分成本身减去小数部分，往下顺理成章的估计就完了。但是也有人直接到这一步就得出答案，而没有说明前面可以放大到一个收敛级数和估计余项的，要扣5分！（3）满分10分。这一小题利用前面的结论和分部求和，很容易就得到答案，即使前两题不会做的同学，这个有的也能的满分！不利用Abel求和交换次序也能得到正确答案。

3，满分20. （1）满分5分。叙述Abel求和公式这个基本上都会，但是也有的同学写成了加号，扣2分。（2）满分15分。这是Mertens Theorem书上有详细的证明过程。这里的难点是要估计余项和指出无穷积分是收敛的、和具体给出C的含义（实际上C是唯一确定的,称为Mertens Constant，0.2614972128...）！没有指出或者隐含这C应该是1-loglog2+A，A是那个无穷积分，要扣1分；没有估计从x积到无穷大等于O（1/logx）,要扣3分。用了一次Abel公式，只把主项算出来，下面就稀里糊涂的就直接给出答案来，一看就是想懵我，这样没有估计余项的只能得到10分。

4，满分10分，正确答案x≡19（mod35）。这个题大家做的非常好，可能只有3、4个同学没有得满分吧，利用代入法就很容易得到答案的。这是一个基本的同余方程，不会做的，可以挖个坑把自己埋了！呵呵

5, 满分15分，正确答案p为2、3或6n+1型素数。这个题是同学得分比较差的一道，很多同学忽略了2和3，要扣2分，少一个扣一分；只得到3n+1型素数，要扣4分；得到p为2或3n+1型素数要扣3分；得到p为2、3或3n+1型素数，不扣分。没有正确得到答案，如果正确应用了二次互反律，至少得4分。

6, 满分20分，（1）满分5分，正确答案为8个原根，3是最小正原根。这一问基本都做对了，有三个同学算对了原跟个数没有算对最小正原根，得3分。（2）满分5分，指标为8. 这一步就是带入直接验证即可。（3）满分10分，x≡9，15，8,2（mod17）。没有化成最简单mod17的形式要扣2分，有几个同学只得到为3幂次，没有化成模17的形式。当然你得到x≡2,-2,9,-9（mod17）不会扣分的！

后记：给大家写这么详细解释清楚，是因为有些同学可能以为自己要考满分的试卷，怎么只得了98或更低了哪？大家放心，基本考得都很好！有4、5个同学卷面分做的不太好，但是参考一下平时成绩作业考勤等，大家都过了！具体成绩大家可以过两天上网自己查的，问我的话，我也大都记不得的。希望大家不要太在乎成绩本身。

给大家开初等数论课程，不是希望你们以后要学数论，也不是希望以后你们要学基础数学！我想目的就是要大家对数论有一个概括的了解和接受到一些严格严谨的数学训练，进而培养一个好的数学素养！因为数论是一门严肃的数学！例如，一个数论函数的取值往往是很不规律的，但是它的均值估计往往有很好的性质，你要能看到它背后隐藏的算术含义和所体现的数学的内在的本质的美！特别是像素数的分布的一些规律！例如：按照大家做题的思路，第二大题第二问我们可以得到估计的主项是Cx,C是一个确定的常数，你应该看出来n/\phi(n)平均起来大小是1，也就是说n和\phi(n)的阶基本上差不多；像第三大题第二问，由这个渐进公式，能看出很多东西，素数有无穷多个，素数倒数和发散，素数出现的概率是1/logx....

以后如果有人问你或者面试你:你认为数论里面哪些结果是漂亮的？我希望你能回答素数分布的一些定理像素数定理切比雪夫定理等，和二次互反律。这也是整个现代数论的的基础！

另外和同学们处了半年，对大家也有了一个简单的了解吧！希望大家首先把我看成你们的朋友、学长，然后才是纪老师。下学期，同学们就面临着很多选择：考研保研出国工作等等，无论如何希望大家要努力争取要积极乐观，做一个有责任心能担当的人！与各位共勉之！^_^